Nonlinear diffusions and optimal constants in Sobolev type inequalities: asymptotic behaviour of equations involving the p-Laplacian

We study the asymptotic behaviour of nonnegative solutions to: ut = pum using an entropy estimate based on a sub-family of the Gagliardo-Nirenberg inequalities – or, in the limit casem = (p 1) 1, on a logarithmic Sobolev inequality inW 1;p – for which optimal functions are known. Diffusions nonlinéaires et constantes optimales dans des inégalités de type Sobolev : comportement asymptotique d’équations faisant intervenir le p-Laplacien Résumé. Nous étudions le comportement asymptotique des solutions positives ou nulles de : ut = pum à l’aide d’une estimation d’entropie qui repose sur l’utilisation d’une sous-famille des inégalités de Gagliardo-Nirenberg – ou, dans le cas limite m = (p 1) 1, d’une inégalité de Sobolev logarithmique dans W 1;p – pour laquelle on connait des fonctions optimales. Version française abrégée Nous considérons dans IRd des solutions positives ou nulles de ut = pum ; (0) où p désigne le p-Laplacien. Le premier résultat de cette note concerne le cas m = 1. THÉORÈME 0.1. – Supposons que m = 1, d 2, 2d+1 d+1 p < d. Soit u une solution de (0) avec donnée initiale u0 dans L1 \ L1 telle que uq0 2 L1, où q = 2p 3 p 1 (si p < 2) et R jxj p p 1u0 dx < +1. Alors pour tout s > 1, il existe une constante K > 0 telle que, pour tout t > 0, ku(t; ) u1(t; )ks KR ( 2 qs+d(1 1 s )) si p 2 ; s q ; kuq(t; ) uq1(t; )ks KR ( 2qs+d(q 1 s )) si p 2 ; s 1q ; où =(1 1p (p 1) p 1 p ) p p 1 , R=R(t)=(1 + t)1= , =(d+ 1)p 2d, u1(t; x)= 1 Rd v1(logR; x R ) avec, pour tout x 2 IRd, v1(x) = (C p 2 p jxj p p 1 )1=(q 1) + si p 6= 2 et v1(x) = C e jxj2=2 si p = 2. M. Del Pino & J. Dolbeault Ici on note kvkc = R jvjc dx 1=c pour tout c > 0. La preuve consiste à montrer que la fonction v définie par u(t; x) = R d v(logR; x R ), où R est donné dans le Théorème 0.1, est telle que son entropie = R [ (v) (v1) 0(v1)(v v1)] dx avec (s) = sq 1 q 1 si q 6= 1, (s) = s log s si q = 1 (p = 2), a une décroissance exponentielle. Dans le cas p = 2, il suffit d’utiliser l’inégalité logarithmique de Sobolev : voir par exemple [13]. Dans les autres cas, on utilise une sous-famille des inégalités de Gagliardo-Nirenberg avec constantes optimales (voir [6]). THÉORÈME 0.2. – Soit 1 < p < d, 1 < a p(d 1) d p , b = p a 1 p 1 . Il existe une constante strictement positive S telle que pour toute fonction w 2W 1;p loc vérifiant kwka + kwkb < +1, ( kwkb S krwk p kwk1 a avec = (a p)d (a 1)(dp (d p)a) si a > p kwka S krwk p kwk1 b avec = (p a)d a(d(p a)+p(a 1)) si a < p avec, à une translation près, égalité pour toute fonction de la forme w(x) = A (1 +B jxj p p 1 ) p 1 a p + , où (A; B) 2 IR2 est tel que B a le même signe que a p. On en déduit, par un argument de changement d’échelle, une inégalité inhomogène : F [v] F [v1], où F [v] = R v 1 p 1 jrvjp dx 1 q ( d 1 p + p p 2 ) R vq dx, avec p = 1 p (p 1) p 1 p , qui montre qu’on a, pour tout t > 0, (t) e t (0). La fin de la preuve repose sur une inégalité de type Csiszár-Kullback selon laquelle, si f et g sont deux fonctions de Lq avec q 2 (1; 2], positives ou nulles, alors Z [ (fg ) 0(1)(fg 1)] gq dx q 2 min kfkq 2 q ; kgkq 2 q kf gk2q : On s’intéresse ensuite au cas m 6= 1, d’un point de vue formel, car à part pour p = 2 [9] ou pour m = 1 [10], il n’y a apparemment pas de résultat de convergence dans L1, ni même d’existence globale. Soit q = 1+m 1 p 1 . Selon que q est plus grand ou plus petit que 1, on retrouve encore deux régimes différents avec un cas limite correspondant à q = 1 (m = (p 1) 1) que l’on traite grâce à une généralisation à W 1;p de l’inégalité logarithmique de Sobolev : voir le Théorème 0.4 ci-dessous. On supposera donc que (H) u est une solution de donnée initiale u0 2 L1 \L1 telle que uq0 2 L1 (si m< 1 p 1 ) etR jxj p p 1u0dx< +1, qui est bien définie pour tout t > 0, appartient à C0(IR+;L1(IRd; (1 + jxj p p 1 ) dx) \L1(IR+ IRd), et telle que uq et t 7! R u 1 p 1 jrujp dx appartiennent respectivement à C0(IR+;L1(IRd) et à L1loc(IR+). THÉORÈME 0.3. – Supposons que d 2, 1 < p < d, d (p 1) d(p 1) m p p 1 et q = 1+m 1 p 1 . Soit u une solution de (0) vérifiant (H). Alors il existe une constante K > 0 telle que, pour tout t > 0, ku(t; ) u1(t; )kq KR ( 2 +d(1 1 q )) si 1 p 1 m p p 1 ; kuq(t; ) uq1(t; )k1=q KR 2 si d (p 1) d(p 1) m 1 p 1 ; où = (1 1 p (p 1) p 1 p ) p p 1 et R = R(t) = (1 + t)1= , = (md+1)(p 1) (d 1), u1(t; x) = 1 Rd v1(logR; x R ) avec, pour tout x 2 IRd, v1(x) = (C p 1 mp (q 1) jxj p p 1 )1=(q 1) + si m 6= (p 1) 1 et v1(x) = C e (p 1)2jxjp=(p 1)=p si m = (p 1) 1. La preuve est similaire à celle du cas m = 1, à l’exception du cas q = 1 (qui correspond à m = (p 1) 1), et pour lequel on utilise l’inégalité logarithmique de Sobolev dans W 1;p suivante (voir [6] pour une preuve dans le cas de la forme invariante par changement d’échelle) : THÉORÈME 0.4. – Soit 1 < p < d. Pour toute fonction w 2W 1;p, w 6= 0, on a Z jwjp log jwj kwkp dx+ d p2 kwkpp 1 logLp log( d p2 ) krwkpp